Et bevis ryster algebraisk geometri: I august 2025 la Fields-medaljøren Maxim Kontsevich og tre samarbeidspartnere frem et arbeid som kan løse et halvt århundre gammelt problem. Metoden henter kraft fra strengteori og speilsymmetri – og få forstår den. Nå samles lesegrupper verden over for å trenge gjennom detaljene.

Hva er saken?

Kontsevich, Ludmil Katzarkov, Tony Pantev og Tony Yue Yu presenterte et bevis som går rett inn i kjernen av algebraisk geometri: klassifiseringen av polynomligninger. Spørsmålet er hvorvidt slike ligninger lar seg beskrive ved en rasjonell parametrisering – en enkel formel som produserer alle løsninger på én gang – eller om de har en mer kompleks struktur.

Enkle eksempler er ligninger som y = x² og x² + y² = 1. Slike gir geometriske former som linjer og sirkler. Men i høyere dimensjoner har feltet i over 150 år forsøkt å skille de «enkle» fra de «komplekse».

Flaskehalsen siden 1970-tallet

Framgangen stanset på 1970-tallet. I 1972 viste Herbert Clemens og Phillip Griffiths at kubiske three-folds (tredimensjonale mangfoldigheter) ikke kunne parametriseres enkelt. Men neste steg – kubiske four-folds (firedimensjonale mangfoldigheter) – sto fast med tradisjonelle metoder.

Det radikale grepet: speilsymmetri

Kontsevich og teamet tar et uvanlig steg ved å bruke ideer fra strengteori. Sentralt står speilsymmetri, der man studerer en kompleks mangfoldighet via dens «speilbilde». Kontsevich har i tre tiår utviklet homologisk speilsymmetri for å forklare denne forbindelsen.

I det nye arbeidet bryter de ned mangfoldighetenes Hodge-strukturer i «atomer». Ved å analysere disse atomene argumenterer de for at four-folds ikke kan parametriseres på en enkel måte.

Fascinasjon – og forvirring

Teknikkene er så uvante for tradisjonell algebraisk geometri at svært få forstår beviset i detalj.

«De sier, 'Dette er svart magi, hva er dette maskineriet?'» – Maxim Kontsevich

«Menneskene som kjenner problemet forstår ikke verktøyene.» – Shaoyun Bai (MIT)

I månedene etter publiseringen har det oppstått lesegrupper i Paris, Beijing, Sør-Korea og USA. Matematikerne møtes ukentlig, men etter elleve 90-minutters økter føler mange seg fortsatt fortapt i detaljene.

Paralleller til Perelman – og forsiktig optimisme

Noen sammenligner situasjonen med Grigori Perelmans bevis av Poincaré-formodningen i 2003, som også benyttet helt nye teknikker og tok år å akseptere. Likevel er stemningen nå preget av optimisme.

«Den generelle oppfatningen er at vi kanskje ser på et stykke av framtidens matematikk.» – Paolo Stellari (Universitetet i Milano)

«Folk over hele kloden jobber med det samme papiret akkurat nå. Det er noe spesielt.» – Paolo Stellari

Tidslinje og status

• Over 150 år: Forsøk på å sortere polynomligninger i «enkle» og «komplekse».
• 1972: Clemens og Griffiths beviser at kubiske three-folds ikke kan parametriseres enkelt.
• 2003: Perelmans bevis viser hvor lang tid aksept kan ta i feltet.
• 2023: Iritani beviser en nøkkelformel for hvordan «atomene» endrer seg.
• August 2025: Kontsevich, Katzarkov, Pantev og Yu legger frem beviset om four-folds.
• Månedene etter: Lesegrupper i Paris, Beijing, Sør-Korea og USA; mange strever fortsatt etter elleve 90-minutters økter.

Kampen videre

Beviset markerer den største framgangen på 50 år i klassifiseringsprosjektet og antyder en ny vei også utover four-folds. Før det kan endre lærebøkene, må det matematiske samfunnet forstå metoden – en prosess som kan ta år.

«Det vil være motstand, men vi har gjort jobben, og jeg er sikker på at det er riktig. Jeg er villig til å utvikle denne teorien så lenge jeg lever.» – Ludmil Katzarkov

Konklusjon: Kontsevich og kollegene hans kan ha åpnet en ny front i matematikkens klassifiseringsarbeid ved å bruke strengteoriens speilsymmetri. Beviset er lovende, omstridt og krevende – og neste kapittel skrives i seminarrommene der verden nå leser det sammen.